Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）交x軸于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2）

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，連接BC、CM、BM，求△BCM的面積；

（3）連接AC，在x軸上是否存在點(diǎn)P使△ACP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）6；（3）存在P1、P2、P3、P4四個(gè)點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別是P1（﹣1﹣，0）、P2（﹣1，0）、P3（，0）、P4（1，0）．

【解析】

試題分析：(1)、將A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+c，求出a、b、c的值，從而確定拋物線解析式；(2)、先求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后過M作MN垂直y軸于N，把△BCM的面積轉(zhuǎn)化成梯形OBMN的面積減去兩個(gè)直角三角形的面積,求出相應(yīng)的長(zhǎng)度，代入面積公式即可；(3)、因?yàn)镻點(diǎn)在x軸上，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，因?yàn)锳O=1，CO=2，所以AC=，然后分類討論，根據(jù)AC為腰，AC為底兩種情況求P點(diǎn)坐標(biāo)．當(dāng)AC為腰時(shí)，分為A為等腰三角形的頂點(diǎn)（左右各有一點(diǎn)P），C為等腰三角形的頂點(diǎn)（有一點(diǎn)P），兩種情況求P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)AC為底，P為頂點(diǎn)時(shí)，作線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，利用勾股定理求出OP,進(jìn)而得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：(1)、因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)，所以將A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）分別代入y=ax2+bx+c得，a-b+c=0,25a+5b+c=0,c=2；組成三元一次方程組，解得a=﹣,b=,c=2,∴拋物線的解析式是y=﹣x2+x+2；

(2)、先根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式：，和解析式求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是M（2，）．

過M作MN垂直y軸于N，如圖，S△BCM=S四邊形OBMN﹣S△OBC﹣S△MNC，其中CN=-2=,MN=2，BO=5，∴S△BCM=（2+5）﹣×5×2﹣×（﹣2）×2=6；

(3)、因?yàn)镻點(diǎn)在x軸上，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，因?yàn)锳O=1，CO=2，所以AC=，分類討論，根據(jù)AC為腰，AC為底兩種情況求P點(diǎn)坐標(biāo)．當(dāng)以AC為腰時(shí)，在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)分別為P1，P2，AP1=AP2=AC=,P1在x軸負(fù)半軸，P2在x軸正半軸，∵0P1=1+，OP2=﹣1，∴P1，P2的坐標(biāo)分別是P1（﹣1﹣，0），P2（﹣1，0）；當(dāng)以AC為底,P為頂點(diǎn)時(shí)，作AC的垂直平分線交x軸于P3，連接CP3,設(shè)OP3為x，因?yàn)镃P3=AP3，由勾股定理得：，解得x=,則P3的坐標(biāo)為P3（，0）．當(dāng)AC為腰， C為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，AC=PC，OP=AO=1,則P4（1，0）．所以存在P1、P2、P3、P4四個(gè)點(diǎn)，使△ACP為等腰三角形,它們的坐標(biāo)分別是P1（﹣1﹣，0）、P2（﹣1，0）、P3（，0）、P4（1，0）．