Question

【題目】已知：在正方形ABCD中，AB＝6，P為邊CD上一點，過P點作PE⊥BD于點E，連接BP.

（1）O為BP的中點，連接CO并延長交BD于點F

①如圖1，連接OE，求證：OE⊥OC；

②如圖2，若，求DP的長；

（2）＝___________

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②DP=4；（2）

【解析】

(1) ①首先得出∠POE＝2∠DBP，∠POC＝2∠CBP，從而得到∠COE＝∠POE＋∠POC＝2（∠DBP＋∠CBP）＝90°，即可得到結論;②連接OE、CE，把△DEC繞點C逆時針旋轉90°得到△BGC，連結FG，則△BGC≌△DEC，得到EC=GC，DE=BG，∠GCB=∠ECD，∠GBC=∠EDC=45°，進而得到∠GCF=∠ECF．再證△GCF≌△ECF，得到EF=FG，在Rt△FBG中，有BF+BG=FG，即BF+DE=EF，由已知，設BF＝3x，EF＝5x，則DE＝4x，得到3x＋4x＋5x＝6，解得x的值，進而得到結論．；（2）由正方形的性質和PE⊥BD得到DP=EP，即EP=DP，代入原式即可得到結論.

(1) ① ∵∠PEB＝∠PCB＝90°，O為BP的中點

∴OE＝OB＝OP＝OC

∴∠POE＝2∠DBP，∠POC＝2∠CBP

∴∠COE＝∠POE＋∠POC＝2(∠DBP＋∠CBP)＝90°

∴OE⊥OC

② 連接OE、CE

∵△COE為等腰直角三角形

∴∠ECF＝45°

在等腰Rt△BCD中，BF2＋DE2＝EF2

設BF＝3x，EF＝5x，則DE＝4x

∴3x＋4x＋5x＝，解得x＝

∴DP＝DE＝

(2) ∵

∴.