Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=c，AC=b．AD是△ABC的角平分線，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，EF與AD相交于O，已知△ADC的面積為1．
（1）證明：DE=DF；
（2）試探究線段EF和AD是否垂直？并說明理由；
（3）若△BDE的面積是△CDF的面積2倍．試求四邊形AEDF的面積．

Answer 1

【答案】解：
（1）證明：
∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF（角平分線的性質）；
（2）垂直．理由如下：
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴點A在線段EF的垂直平分線上，
同理點D也在線段EF的垂直平分線上，
∴AD⊥EF；
（3）設S△CDF=x，則S△BDE=2x，
∵S△ACD=1，且△AED≌△AFD，
∴S△AED=S△AFD=1﹣x，
∴S△ABD=S△BDE+S△AED=2x+1﹣x=x+1，
又S△ABD=ABDE，S△ACD=ACDF，且AB=c，AC=b，
∴×cDE=x+1，×bDF=1，
∴DE=，DF=，
又由（1）可知DE=DF，
∴=，解得x=﹣1，
∵△AED≌△AFD，
∴S△AED=S△AFD=S△ACD﹣S△CDF=1﹣x，
∴S四邊形AEDF=2S△AED=2（1﹣x）=2[1﹣（﹣1）]=4﹣，
即四邊形AEDF的面積為4﹣．
【解析】（1）由角平分線的性質直接可得到DE=DF；
（2）可證明△AED≌△AFD，可知AE=AF，利用線段垂直平分線的判定可證明AD是EF的垂直平分線，可證得結論；
（3）設△CDF的面積為x，則可分別表示出△BED、△ADE的面積，利用三角形的面積可分別表示出DE和DF，根據DE=DF可得到關于x的方程，可求得x的值，進一步可求得四邊形AEDF的面積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形三邊關系的相關知識，掌握三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊．