Question

【題目】在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點、(點在點的左側)，，經過點的一次函數的圖象與軸正半軸交于點，且與拋物線的另一個交點為，的面積為5．

(1)求拋物線和一次函數的解析式；

(2)拋物線上的動點在一次函數的圖象下方，求面積的最大值，并求出此時點E的坐標；

(3)若點為軸上任意一點，在(2)的結論下，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1)；；(2)的面積最大值是，此時點坐標為；(3)的最小值是3.

【解析】

(1)先寫出平移后的拋物線解析式，再把點代入可求得的值，由的面積為5可求出點的縱坐標，代入拋物線解析式可求出橫坐標，由、的坐標可利用待定系數法求出一次函數解析式；

(2)作軸交于，如圖，利用三角形面積公式，由構建關于E點橫坐標的二次函數，然后利用二次函數的性質即可解決問題；

(3)作關于軸的對稱點，過點作于點，交軸于點，則，利用銳角三角函數的定義可得出，此時最小，求出最小值即可．

解：(1)將二次函數的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線解析式為，

∵，∴點的坐標為，

代入拋物線的解析式得，，∴，

∴拋物線的解析式為，即．

令，解得，，∴，

∴，

∵的面積為5，∴，∴，

代入拋物線解析式得，，解得，，∴，

設直線的解析式為，

∴，解得：，

∴直線的解析式為．

(2)過點作軸交于，如圖，設，則，

∴，

∴，，

∴當時，的面積有最大值，最大值是，此時點坐標為．

(3)作關于軸的對稱點，連接交軸于點，過點作于點，交軸于點，

∵，，

∴，，∴，

∵，

∴，∴，

∵、關于軸對稱，∴，

∴，此時最小，

∵，，

∴，

∴．

∴的最小值是3．