Question

【題目】在如圖的直角坐標系中，已知點A(2,0)、B(0，－4)，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°至AC．

(1)求點C的坐標；

(2)若拋物線y＝－x2＋ax＋4經過點C．

①求拋物線的解析式；

②在拋物線上是否存在點P(點C除外)使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形?若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】C的坐標為（3，﹣1）；

（2）①拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2；

②存在點P，△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，符合條件的點有P1（﹣1，1），P2（﹣2，﹣1）兩點．

【解析】

試題（1）過點C作CD垂直于x軸，由線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°至AC，根據旋轉的旋轉得到AB=AC，且∠BAC為直角，可得∠OAB與∠CAD互余，由∠AOB為直角，可得∠OAB與∠ABO互余，根據同角的余角相等可得一對角相等，再加上一對直角相等，利用ASA可證明三角形ACD與三角形AOB全等，根據全等三角形的對應邊相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐標及位置特點求出OA及OB的長，可得出OD及CD的長，根據C在第四象限得出C的坐標；

（2）①由已知的拋物線經過點C，把第一問求出C的坐標代入拋物線解析式，列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出拋物線的解析式；

②假設存在點P使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，分三種情況考慮：（i）A為直角頂點，過A作AP1垂直于AB，且AP1=AB，過P1作P1M垂直于x軸，如圖所示，根據一對對頂角相等，一對直角相等，AB=AP1，利用AAS可證明三角形AP1M與三角形ACD全等，得出AP1與P1M的長，再由P1為第二象限的點，得出此時P1的坐標，代入拋物線解析式中檢驗滿足；（ii）當B為直角頂點，過B作BP2垂直于BA，且BP2=BA，過P2作P2N垂直于y軸，如圖所示，同理證明三角形BP2N與三角形AOB全等，得出P2N與BN的長，由P2為第三象限的點，寫出P2的坐標，代入拋物線解析式中檢驗滿足；（iii）當B為直角頂點，過B作BP3垂直于BA，且BP3=BA，如圖所示，過P3作P3H垂直于y軸，同理可證明三角形P3BH全等于三角形AOB，可得出P3H與BH的長，由P3為第四象限的點，寫出P3的坐標，代入拋物線解析式檢驗，不滿足，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標．

試題解析：（1）過C作CD⊥x軸，垂足為D，

∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，

又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，

∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2），

∴OA=CD=1，OB=AD=2，

∴OD=OA+AD=3，又C為第四象限的點，

∴C的坐標為（3，﹣1）；

（2）①∵拋物線y=﹣x2+ax+2經過點C，且C（3，﹣1），

∴把C的坐標代入得：﹣1=﹣+3a+2，解得：a=，

則拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2；

②存在點P，△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，

（i）若以AB為直角邊，點A為直角頂點，

則延長CA至點P1使得P1A=CA，得到等腰直角三角形ABP1，過點P1作P1M⊥x軸，如圖所示，

∵AP1=CA，∠MAP1=∠CAD，∠P1MA=∠CDA=90°，

∴△AMP1≌△ADC，

∴AM=AD=2，P1M=CD=1，

∴P1（﹣1，1），經檢驗點P1在拋物線y=﹣x2+x+2上；

（ii）若以AB為直角邊，點B為直角頂點，則過點B作BP2⊥BA，且使得BP2=AB，

得到等腰直角三角形ABP2，過點P2作P2N⊥y軸，如圖，

同理可證△BP2N≌△ABO，

∴NP2=OB=2，BN=OA=1，

∴P2（﹣2，﹣1），經檢驗P2（﹣2，﹣1）也在拋物線y=﹣x2+x+2上；

（iii）若以AB為直角邊，點B為直角頂點，則過點B作BP3⊥BA，且使得BP3=AB，

得到等腰直角三角形ABP3，過點P3作P3H⊥y軸，如圖，

同理可證△BP3H≌△BAO，

∴HP3=OB=2，BH=OA=1，

∴P3（2，﹣3），經檢驗P3（2，﹣3）不在拋物線y=﹣x2+x+2上；

則符合條件的點有P1（﹣1，1），P2（﹣2，﹣1）兩點．