Question

【題目】已知：如圖，四邊形的對角線、相交于點，.

（1）求證：；

（2）設的面積為，，求證：S四邊形ABCD.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）由S△AOD=S△BOC易得S△ADB=S△ACB，根據三角形面積公式得到點D和點C到AB的距離相等，則CD∥AB，于是可判斷△DOC∽△BOA，然后利用相似比即可得到結論；
（2）利用相似三角形的性質可得結論．

（1）∵S△AOD=S△BOC，
∴S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB，即S△ADB=S△ACB，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△BOA，
∴ ；
（2）∵△DOC∽△BOA
∴ ＝k，2=k2，
∴DO=kOB，CO=kAO，S△COD=k2S，
∴S△AOD=kS△OAB=kS，S△COB=kS△OAB=kS，
∴S四邊形ABCD=S+kS+kS+k2S=（k+1）2S．