Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作EF∥AD，與AC、DC分別交于點G，F，H為CG的中點，連接DE，EH，DH，FH．下列結論：

①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180 ；③△EHF≌△DHC；④若，則3S△EDH=13S△DHC，其中結論正確的有___________．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】①∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，

∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，

∴△CFG為等腰直角三角形，

∴GF=FC，

∵EG=EF-GF，DF=CD-FC，

∴EG=DF，故①正確；

②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，

∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，

∵EF=CD，

∠EFH=∠DCH，

FH=CH，

∴△EHF≌△DHC（SAS），

∴∠HEF=∠HDC，

∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正確；

③∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，

∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，

EF=CD，

∠EFH=∠DCH，

H=CH，

∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正確；

④∵AE：AB=2：3，

∴AE=2BE，

∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，

∴FH=GH，∠FHG=90°，

∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，

在△EGH和△DFH中，

∵ED=DF,

∠EGH=∠HFD,

GH=FH，

∴△EGH≌△DFH（SAS），

∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，

∴△EHD為等腰直角三角形，

過H點作HM垂直于CD于M點，如圖所示：

設HM=x，則DM=5x，DH=x，CD=6x

則S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，

∴3S△EDH=13S△DHC，故④正確；

故答案為：①②③④．