Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過點A(2，﹣3)，且與x軸交點坐標為(﹣1，0)，(3，0)

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線AB下方拋物線上找一點D，求出使得△ABD面積最大時點D的坐標；

(3)點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）當D坐標為（，-）時，△ABD的面積最大；（3）存在，M點的坐標為（0，-3）、（4，5）、（-2，5）.

【解析】

（1）把交點坐標為（2，-3），（-1，0），（3，0）代入二次函數的表達式，即可求解；
（2）如圖，過D點做DF⊥x軸于F，交AB于E，設出D，E點坐標，根據S△ABD=DE×（xA-xB）即可求解；
（3）分情況進行討論，當AB是為平行四邊形的邊長時，如圖所示，M1、M2為所求點；當AB為平行四邊形的對角線時，M3與點C重合，即可求解．

（1）把交點坐標為（2，-3），（-1，0），（3，0）代入二次函數的表達式得，

，

解得：a=1，b=-2，c=﹣3，

故二次函數的表達式為：y=x2-2x-3；

（2）如圖，過D點做DF⊥x軸于F，交AB于E，

把A（2，-3），B（-1，0）代入一次函數表達式得直線AB的方程為：y=-x-1，

設：D（m，m2-2m-3），E（m，-m-1），

∴DE=-m-1-（m2-2m-3）=-m2+m+2，

S△ABD=DE×（xA-xB）=-（m-）2+，

∴當D坐標為（，-）時，△ABD的面積最大；

（3）當AB是為平行四邊形的邊長時，

①如圖，

∵四邊形ANM1B為平行四邊形，

∴△ANH≌△BM1G，

則M1的橫坐標為：-2，代入二次函數表達式，

解得：M1坐標為（-2，5）；

②如圖，

∵四邊形ANM2B為平行四邊形，

∴△ABG≌△NHM2，

則M2的橫坐標為：4，代入二次函數表達式，

解得：M2坐標為（4，5）；

當AB時平行四邊形的對角線時，如下圖所示，

M3與點C重合，

故M3（0，-3）；

故M點的坐標為：（0，-3）、（4，5）、（-2，5）．