Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A，B兩點，交x軸與D，C兩點，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下，P為y軸右側拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y=x2﹣x+3，；（Ⅱ）滿足條件的點P的坐標為（11，36）、（，）、（，）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）只需把A、C兩點的坐標代入y=x2+mx+n，就可得到拋物線的解析式，然后求出直線AB與拋物線的交點B的坐標，過點B作BH⊥x軸于H，如圖1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=3，從而得到∠ACB=90°，然后根據三角函數的定義就可求出tan∠BAC的值；

（Ⅱ）過點P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．設點P的橫坐標為x，由P在y軸右側可得x＞0，則PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若點G在點A的下方，①當∠PAQ=∠CAB時，△PAQ∽△CAB．此時可證得△PGA∽△BCA，根據相似三角形的性質可得AG=3PG=3x．則有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入拋物線的解析式，就可求出點P的坐標②當∠PAQ=∠CBA時，△PAQ∽△CBA，同理，可求出點P的坐標；若點G在點A的上方，同理，可求出點P的坐標；

解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得

，

解得：．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x+3．

聯立，

解得：或，

∴點B的坐標為（4，1）．

過點B作BH⊥x軸于H，如圖1．∵C（3，0），B（4，1），

∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．

∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=．

同理：∠ACO=45°，AC=3，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，

∴tan∠BAC===；

（Ⅱ）（1）存在點P，使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似．

過點P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．

設點P的橫坐標為x，由P在y軸右側可得x＞0，則PG=x．

∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．

若點G在點A的下方，

①如圖2①，當∠PAQ=∠CAB時，則△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，

∴==．

∴AG=3PG=3x．

則P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得：x2﹣x+3=3﹣3x，

整理得：x2+x=0，解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．

②如圖2②，當∠PAQ=∠CBA時，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG=PG=x，則P（x，3﹣x），

把P（x，3﹣x）代入y=x2﹣x+3，得：x2﹣x+3=3﹣x，

整理得：x2﹣x=0，解得：x1=0（舍去），x2=，∴P（，）；

若點G在點A的上方，

①當∠PAQ=∠CAB時，則△PAQ∽△CAB，

同理可得：點P的坐標為（11，36）．

②當∠PAQ=∠CBA時，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：點P的坐標為P（，）．

綜上所述：滿足條件的點P的坐標為（11，36）、（，）、（，）．