Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A，B兩點，并經過點C，已知點A的坐標是（﹣6，0），點C的坐標是（﹣8，﹣6）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求拋物線的頂點坐標及點B的坐標；

（3）設拋物線的對稱軸與x軸交于點D，連接CD，并延長CD交拋物線于點E，連接AC，AE，求△ACE的面積；

（4）拋物線上有一個動點M，與A，B兩點構成△ABM，是否存在S△ADM=S△ACD？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2﹣4x﹣6；

（2）B（﹣2，0）；

（3）S△ACE= 7.5；

（4）點M的坐標為（﹣3，）或（﹣5，）或（﹣4+，﹣）或（﹣4﹣，﹣）時，S△ADM=S△ACD．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法進行求解即可得；

（2）化為頂點式即可得到頂點坐標，令y=0，解方程即可得；

（3）求出直線CE的解析式，然后求出與x軸的交點坐標，利用S△ACE=S△ADE+S△ACD進行計算即可得；

（4）設M（x，﹣x2﹣4x﹣6），根據S△ABM=S△ACD，通過計算即可得.

試題解析：（1）根據題意得，解得，

所以拋物線解析式為y=﹣x2﹣4x﹣6；

（2）y=﹣（x+4）2+2，則拋物線的頂點坐標為（﹣4，2）；

當y=0時，﹣x2﹣4x﹣6=0，解得x1=﹣6， x2=﹣2，則B（﹣2，0）；

（3）設直線CD的解析式為y=mx+n，

把D（﹣4，0），C（﹣8，﹣6）代入得，解得，

所以直線CD的解析式為y=x+6，

解方程組 得 或，則E（﹣3，），

所以S△ACE=S△ADE+S△ACD=×2×+×2×6=7.5；

（4）存在．

設M（x，﹣x2﹣4x﹣6），

∵S△ABM=S△ACD，

∴×4|﹣x2﹣4x﹣6|=××2×3，

當﹣x2﹣4x﹣6=，解得x1=﹣3，x2=﹣5，此時M點坐標（﹣3，）或（﹣5，）；

當﹣x2﹣4x﹣6=﹣，解得x1=﹣4+，x2=﹣4﹣，此時M點坐標（﹣4+，﹣）或（﹣4﹣，﹣），

綜上所述，點M的坐標為（﹣3，）或（﹣5，）或（﹣4+，﹣）或（﹣4﹣，﹣）時，S△ADM=S△ACD．