Question

如圖，圓錐底面半徑為r，母線長為3r，底面圓周上有一螞蟻位于A點，它從A點出發沿圓錐面爬行一周后又回到原出發點，請你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑．

Answer 1

分析：此題的關鍵是找到這一條最短的路徑，根據兩點之間線段最短可求，利用底面周長=展開圖的弧長可求出圓心角的度數，再根據勾股定理求出弦的長度．

解答：解：把圓錐沿過點A的母線展成如圖所示扇形，
則螞蟻運動的最短路程為AA′（線段）．

由此知：OA=OA′=3r，

ADA′

的長即為圓錐的底面周長為2πr．
∴2πr=

nπ•3r

180

，n=120°，
即∠AOA′=120°，∠OAC=30度．
∵OA=OA′，
∴OC⊥AA′，
∴OC=

1

2

OA=

3

2

r．
∴AC=

OA2-CO2

=

3

2

3

r．
∴AA′=2AC=3

3

r，
即螞蟻運動的最短路程是3

3

r．

點評：此題的關鍵是找到這一條最短的路徑，并熟悉圓錐的展開圖，根據已知的條件求弦長．