Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分線分別與AC、BC及AB的延長線相交于點D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點G，交⊙O于點H，連接BD、FH．

（1）求證：△HGF∽△HFB；

（2）求證：BD=EF；

（3）連接HE，若AB=2，求△HEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）直接利用角平分線的定義結合相似三角形的判定方法得出答案；

（2）首先得出△ABC≌△EBF（ASA），進而得出BD=AC=EF；

（3）結合勾股定理得出EF2=BE2+BF2=22+（2+2）2=16+8，進而得出S△HEF=HFHE=HE2，求出答案即可．

（1）證明：∵BH為∠EBF的平分線，

∴∠EBH=∠FBH，

又∵∠EBH=∠EFH，

∴∠EFH=∠FBH，

而∠BHF=∠BHF，

∴△HGF∽△HFB；

（2）證明：∵∠ABC=90°，

∴∠EBF=∠ABC=90°，

∵∠BFE+∠A=90°，∠C+∠A=90°，

∴∠BFE=∠C，

在△ABC和△EBF中

，

∴△ABC≌△EBF（ASA），

∴AC=EF，

∵∠ABC=90°，D為AC中點，

∴BD=AC=EF；

（3）解：連接EA，EH，由于DF為垂直平分線，

∴CE=EA=AB=2，BF=BC=2+2，

∴EF2=BE2+BF2=22+（2+2）2=16+8，

又∵BH為∠EBF平分線，

∴∠HEF=∠HFE=45°，

∴HE=HF且HE2+HF2=EF2，

∴HE2=HF2=8+4，

∴在等腰Rt△HEF中，S△HEF=HFHE=HE2=4+2．