Question

【題目】在正方形ABCD中，點P是CD邊上一動點，連接PA，分別過點B、D作、，垂足分別為E、F．

如圖，請探究BE、DF、EF這三條線段的長度具有怎樣的數量關系？

若點P在DC的延長線上，如圖，那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數量關系？

若點P在CD的延長線上，如圖，請直接寫出結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

試題（1）在圖①中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：BE-DF=EF，理由為：由BE垂直于AP，DF垂直于AP，得到一對直角相等，再由四邊形ABCD為正方形，得到AB=AD，且∠BAD為直角，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用AAS得到三角形ABE與三角形DFA全等，利用全等三角形對應邊相等得到BE=AF，AE=DF，根據AF-AE=EF，等量代換即可得證；（2）在圖②中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：DF-BE=EF，理由同（1）；（3）在圖③中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：DF+BE=EF，理由同（1）．

試題解析：（1）在圖①中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：BE-DF=EF；

證明：∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE-AF=EF，

∴DF-BE=EF．

（2）在圖②中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：DF-BE=EF；

∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE-AF=EF，

∴DF-BE=EF．

（3）在圖③中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：DF+BE=EF，

理由為：∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE+AF=EF，

∴DF+BE=EF．