Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是4cm/秒，點(diǎn)Q的速度是2cm/秒，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線(xiàn)段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．求：

（1）當(dāng)t=3秒時(shí)，這時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離是多少？

（2）若△CPQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

（3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1）10cm；（2）；（3）t＝3或t＝

【解析】

（1）在Rt△CPQ中，當(dāng)t=3秒，可知CP、CQ的長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理可將PQ的長(zhǎng)求出；
（2）由點(diǎn)P，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間，又知AC，BC的長(zhǎng)，可將CP、CQ用含t的表達(dá)式求出，代入直角三角形面積公式=CP×CQ求解；
（3）應(yīng)分兩種情況：當(dāng)Rt△CPQ∽Rt△CAB時(shí)，根據(jù)，可將時(shí)間t求出；當(dāng)Rt△CPQ∽Rt△CBA時(shí)，根據(jù)，可求出時(shí)間t．

由題意得AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4t，

（1）當(dāng)t=3秒時(shí)，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，

由勾股定理得PQ=；

（2）由題意得AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4t，

因此Rt△CPQ的面積為S=；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)Rt△CPQ∽Rt△CAB時(shí)，

，即，

解得：t=3秒；

②當(dāng)Rt△CPQ∽Rt△CBA時(shí)，

，即，

解得：t=秒．

因此t=3秒或t=秒時(shí)，以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似