Question

【題目】如圖，⊙O為等邊△ABC的外接圓，AD∥BC，∠ADC＝90°，CD交⊙O于點E．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若DE＝2，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6﹣

【解析】

（1）連接AO并延長交BC于F，易知AF⊥BC，根據AD∥BC可得AD⊥OA， 進而可得結論；

（2）連接AE、OE，易證AF∥CD，則∠ACD＝∠CAF＝∠BAC＝30°，從而∠AOE＝60°，進而可證明△AOE是等邊三角形，于是OA＝AE，∠OAE＝60°，可得∠DAE＝30°，然后由30°角的直角三角形的性質可得AE與AD的長，再根據陰影部分的面積＝梯形OADE的面積﹣扇形AOE的面積，代入相關數據計算即得答案．

（1）證明：連接AO并延長交BC于點F，如圖1所示，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AF⊥BC，

∵AD∥BC，

∴AD⊥OA，

∴AD是⊙O的切線；

（2）解：連接AE、OE，如圖2所示，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°，

∵∠ADC＝90°，

∴CD⊥AD，

∴AF∥CD，

∴∠ACD＝∠CAF＝∠BAC＝30°，

∴∠AOE＝2∠ACD＝60°，

∵OA＝OE，

∴△AOE是等邊三角形，

∴OA＝AE，∠OAE＝60°，

∴∠DAE＝30°，

∵∠ADC＝90°，

∴OA＝AE＝2DE＝4，AD＝DE＝2，

∴陰影部分的面積＝梯形OADE的面積﹣扇形AOE的面積＝（2+4）×2﹣＝6﹣．