Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數圖象經過點，，其對稱軸為直線．

(1)求該二次函數的解析式；

(2)若直線將的面積分成相等的兩部分，求的值；

(3)點是該二次函數圖象與軸的另一個交點，點是直線上位于軸下方的動點，點是第四象限內該二次函數圖象上的動點，且位于直線右側．若以點為直角頂點的與相似，求點的坐標．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的表達式為：，直線的表達式為： ；(2)；(3)點坐標為或．

【解析】

(1)把A、C坐標代入二次函數表達式，再由對稱軸公式以及對稱軸x=2得到關于a、b、c的方程組，解方程組即可得；

(2)求出直線AC解析式為：，聯立，求得兩直線交點的橫坐標為，直線 與軸的交點為，求出，

由題意得則可知兩直線與y軸圍成的三角形的面積為 且m>-6，解方程即可得；

(3)由已知可得，然后分①當時，則，如圖1，過點作直線，垂足為，過點作，垂足為，則，根據相似三角形的性質則可得到，設點，則，，求得h值即可求得答案；②當時， ，過點作直線，垂足為，過點作，垂足為，則 ，則可得，設點，則， ，求得p的值即可求得答案.

(1)由已知得：，解得：，

故拋物線的表達式為：；

(2)設直線AC解析式為y=k1x+b1，將A(-2，0)、C(0，-6)分別代入得

，解得：，

所以直線的表達式為：，

聯立，解得：，

直線 與軸的交點為，

∵，

∴由題意得： ，

解得：或(舍去)，

；

(3)，，

，

①當時，則，

如圖1，過點作直線，垂足為，過點作，垂足為，

則，

則，則，

設點，則，，

則，即，

點在二次函數上，故： ，

解得：或(舍去)，

則點；

②當時， ，

過點作直線，垂足為，過點作，垂足為，

則 ，則，則，

設點，則， ，

則，解得：或(舍去)；

故點坐標為或．