Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的半圓分別交AC、BC于點D、E兩點，BF與⊙O相切于點B，交AC的延長線于點F．

（1）求證：D是AC的中點；

（2）若AB＝12，sin∠CAE＝，求CF的值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)CF=.

【解析】

（1）連接BD，由圓周角定理知DB⊥AC，根據等腰三角形三線合一的性質即可證得D是AC的中點．
（2）根據切線的性質得到∠ABF=90°，根據同弧所對的圓周角相等，得到∠CAE＝∠CBD，又∠CBD＝∠ABD，∠ABD＝∠F，則sin∠CAE＝sin∠F＝sin∠ABD，則

即可求出的長度，即可求解.

(1)證明：連接DB，

∴AB是⊙O直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴DB⊥AC．

又∵AB＝BC．

∴D是AC的中點．

(2)解：∵BF與⊙O相切于點B，

∴∠ABF＝90°，

∵∠CAE＝∠CBD，

∴∠CBD＝∠ABD，∠ABD＝∠F，

∴sin∠CAE＝sin∠F＝sin∠ABD，

∴在△ADB和△ABF中，

∵AB＝12，

∴

∴CF＝AF﹣AC＝-=.