Question

【題目】閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務．

“圓材埋壁”是我國古代數學著作《九章算術》中的一個問題：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？用現在的數學語言表達是：如圖，為的直徑，弦，垂足為，寸，尺，其中1尺寸，求出直徑的長．

解題過程如下：

連接，設寸，則寸．

∵尺，∴寸．

在中，，即，解得，

∴寸．

任務：

（1）上述解題過程運用了 定理和 定理．

（2）若原題改為已知寸，尺，請根據上述解題思路，求直徑的長．

（3）若繼續往下鋸，當鋸到時，弦所對圓周角的度數為 ．

Answer 1

【答案】（1）垂徑，勾股；（2）26寸；（3）或

【解析】

（1）由解題過程可知根據垂徑定理求出AE的長，在Rt△OAE中根據勾股定理求出r的值，即可得到答案．
（2）連接OA，設OA=r寸，則OE=DE-r=25-r，再根據垂徑定理求出AE的長，在Rt△OAE中根據勾股定理求出r的值，進而得出結論．
（3）當AE=OE時，△AEO是等腰直角三角形，則∠AOE=45°，∠AOB=90°，所以由圓周角定理推知弦AB所對圓周角的度數為 45°或135°．

解：（1）根據題意知，上述解題過程運用了 垂徑定理和 勾股定理．

故答案是：垂徑；勾股；
（2）連接OA，設OA=r寸，則OE=DE-r=（25-r）寸
∵AB⊥CD，AB=1尺，∴AE=AB=5寸
在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，即r2=52+（25-r）2，解得r=13，
∴CD=2r=26寸
（2）∵AB⊥CD，
∴當AE=OE時，△AEO是等腰直角三角形，
∴∠AOE=45°，
∴∠AOB=2∠AOE=90°，
∴弦AB所對圓周角的度數為∠AOB=45°．
同理，優弧AB所對圓周角的度數為135°．
故答案是：45°或135°．