Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O在邊AC上，⊙O與△ABC的邊AC，AB分別切于C、D兩點，與邊AC交于點E，弦與AB平行，與DO的延長線交于M點．

（1）求證：點M是CF的中點；

（2）若E是的中點，連結DF，DC，試判斷△DCF的形狀；

（3）在（2）的條件下，若BC=a，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）△DFC是等邊三角形，詳見解析；（3）AE= a．

【解析】

（1）根據垂徑定理可知，只要證明OM⊥CF即可解決問題；
（2）結論：△DFC是等邊三角形．由點M是CF中點，DM⊥CF，推出DE=DF，由E是中點，推出DC=CF，推出DC=CF=DF，即可；
（3）只要證明△BCD是等邊三角形，即可推出∠B=60°，∠A=30°，在Rt△ABC中，BC=BD=CD=a，可得OC=OD=a，OA=a，由此即可解決問題.

（1）證明：∵AB是⊙O的切線，

∴OD⊥AB，

∴∠ODB=90°，

∵CF∥AB，

∴∠OMF=∠ODB=90°，

∴OM⊥CF，

∴CM=MF．

（2）解：結論：△DFC是等邊三角形．

理由：∵點M是CF中點，DM⊥CF，

∴DE=DF，

∵E是中點，

∴DC=CF，

∴DC=CF=DF，

∴△DCF是等邊三角形．

（3）解：∵BC、BD是切線，

∴BC=BD，

∵CE垂直平分DF，

∴∠DCA=30°，∠DCB=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠B=60°，∠A=30°，

在Rt△ABC中，BC=BD=CD=a，

∴OC=OD=a，OA=a，

∴AE=OA﹣OC=a．