Question

如圖，在平面直角坐標系內，已知直線y=x+4與x軸、y軸分別相交于點A和點C，拋物線y=x²+kx+k-1圖象過點A和點C，拋物線與x軸的另一交點是B，
（1）求出此拋物線的解析式、對稱軸以及B點坐標；
（2）若在y軸負半軸上存在點D，能使得以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，請求出點D的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先求出A、C兩點的坐標，再代入拋物線的解析式，就可求出該拋物線的解析式，然后根據拋物線的對稱軸方程x=-

b

2a

求出拋物線的對稱軸，根據拋物線上點的坐標特征求出點B的坐標；
（2）易得∠OAC=∠OCA，∠ABC＞∠ADC，由此根據條件即可得到△CAD∽△ABC，然后運用相似三角形的性質可求出CD的長，由此可得到OD的長，就可解決問題．

解答：解：（1）由x=0得y=0+4=4，則點C的坐標為（0，4）；
由y=0得x+4=0，解得x=-4，則點A的坐標為（-4，0）；
把點C（0，4）代入y=x²+kx+k-1，得k-1=4，
解得：k=5，
∴此拋物線的解析式為y=x²+5x+4，
∴此拋物線的對稱軸為x=-

5

2×1

=-

5

2

．
令y=0得x²+5x+4=0，
解得：x₁=-1，x₂=-4，
∴點B的坐標為（-1，0）．

（2）∵A（-4，0），C（0，4），
∴OA=OC=4，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，
∴AC=

OA2+OC2

=4

2

，AB=OA-OB=4-1=3．
∵點D在y軸負半軸上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．
又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．
∴由條件“以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，
∴

CD

AC

=

CA

AB

，即

CD

4 2

=

4 2

3

，
解得：CD=

32

3

，
∴OD=CD-CO=

32

3

-4=

20

3

，
∴點D的坐標為（0，-

20

3

）．

點評：本題主要考查了用待定系數法求二次函數的解析式、解一元二次方程、相似三角形的性質、勾股定理、等腰三角形的性質等知識，弄清兩相似三角形的對應關系是解決第（2）小題的關鍵．