Question

【題目】如圖1，已知∠DAC=90°，△ABC是等邊三角形，點P為射線AD上任意一點（點P與點A不重合），連結CP，將線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，連結QB并延長交直線AD于點E．

（1）如圖1，猜想∠QEP=　 　°；

（2）如圖2，3，若當∠DAC是銳角或鈍角時，其它條件不變，猜想∠QEP的度數，選取一種情況加以證明；

（3）如圖3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的長．

Answer 1

【答案】（1）∠QEP=60°；（2）∠QEP=60°，證明詳見解析；（3）

【解析】

(1)∠QEP=60°；

證明：連接PQ，

∵PC=CQ,且∠PCQ=60°，

則△CQB和△CPA中，

，

∴△CQB≌△CPA(SAS)，

∴∠CQB=∠CPA，

又因為△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，

∴∠QEP=∠QCP=60°.

故答案為：60；

(2)∠QEP=60°.以∠DAC是銳角為例。

證明：如圖2，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC,∠ACB=60°，

∵線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，

∴CP=CQ,∠PCQ=60°，

∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，

即∠ACP=∠BCQ，

在△ACP和△BCQ中，

，

∴△ACP≌△BCQ(SAS)，

∴∠APC=∠Q，

∵∠1=∠2，

∴∠QEP=∠PCQ=60°；

(3)連結CQ，作CH⊥AD于H，如圖3，

與(2)一樣可證明△ACP≌△BCQ，

∴AP=BQ，

∵∠DAC=135°,∠ACP=15°，

∴∠APC=30°,∠PCB=45°，

∴△ACH為等腰直角三角形，

∴AH=CH=AC=×4=，

在Rt△PHC中,PH=CH=，

∴PA=PHAH=-，

∴BQ=