Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動點M，N從點C同時出發，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設移動時間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根據勾股定理，得AB= 。（1）以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況：①當△AMP∽△ABC時， ，即 ，解得 ； ②當△APM∽△ABC時， ，即 ，解得t=0（不合題意，舍去）。
綜上所述，當 時，以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似
（2）解：存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．
理由如下：假設存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值。如圖，過點P作PH⊥BC于點H．則PH∥AC

∴ ，即 。
∴ ∴
∵ ＞0，
∴S有最小值。當t= 時，S最小值= ． 答：當t= 時，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是
【解析】（1）根據△AMP∽△ABC，可得成比例的線段，問題得解；（2）首先假設存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值，然后把四邊形APNC的面積表示出來，其面積是一個二次函數，再根據二次函數的性質求解。
【考點精析】利用二次函數的最值和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．