Question

【題目】如圖，點A在∠MON的邊ON上，AB⊥OM于B，AE=OB，DE⊥ON于E，AD=AO，DC⊥OM于C．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）若DE=3，OE=9，求AB、AD的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AB、AD的長分別為3和5．

【解析】

（1）證Rt△ABO≌Rt△DEA（HL）得∠AOB=∠DAE，AD∥BC．證四邊形ABCD是平行四邊形，又，故四邊形ABCD是矩形；（2）由（1）知Rt△ABO≌Rt△DEA，AB=DE=3．設AD=x，則OA=x，AE=OE－OA=9－x．在Rt△DEA中，由得：.

（1）證明：∵AB⊥OM于B，DE⊥ON于E，

∴.

在Rt△ABO與Rt△DEA中，

∵∴Rt△ABO≌Rt△DEA（HL）．

∴∠AOB=∠DAE．∴AD∥BC．

又∵AB⊥OM，DC⊥OM，∴AB∥DC．

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

∵，∴四邊形ABCD是矩形；

（2）由（1）知Rt△ABO≌Rt△DEA，∴AB=DE=3．

設AD=x，則OA=x，AE=OE－OA=9－x．

在Rt△DEA中，由得：

，解得．

∴AD=5．即AB、AD的長分別為3和5．