Question

【題目】如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點E是BC邊上一點，∠DEF=45°且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點P，Q．

（1）如圖2，若點E為BC中點，將∠DEF繞著點E逆時針旋轉，DE與邊AB交于點P，EF與CA的延長線交于點Q．設BP為x，CQ為y，試求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）如圖3，點E在邊BC上沿B到C的方向運動（不與B，C重合），且DE始終經過點A，EF與邊AC交于Q點．探究：在∠DEF運動過程中，△AEQ能否構成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=，自變量x的取值范圍是0＜x＜1；（2）在∠DEF運動過程中，△AEQ能成等腰三角形，此時BE的長為或．

【解析】

試題（1）先根據等腰三角形的性質及勾股定理得到∠B=∠C，，再由，可證得△BPE∽△CEQ，根據相似三角形的性質可得，設BP為x，CQ為y，即得，從而可以求得結果；

（2）由∠AEF=∠B=∠C且∠AQE＞∠C可得AE≠AQ ，當AE=EQ時，可證△ABE≌ECQ，即可得到CE=AB=2，從而可以求得BE的長；當AQ=EQ時，可知∠QAE=∠QEA=45°，則可得AE⊥BC ，即得點E是BC的中點，從而可以求得BE的長..

（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=2

∴∠B=∠C，

又∵，

∴∠DEB=∠EQC

∴△BPE∽△CEQ

∴

設BP為x，CQ為y

∴

∴，自變量x的取值范圍是0＜x＜1；

（2）∵∠AEF=∠B=∠C且∠AQE＞∠C

∴∠AQE＞∠AEF

∴AE≠AQ

當AE=EQ時，可證△ABE≌ECQ

∴CE=AB=2

∴BE=BC-EC=

當AQ=EQ時，可知∠QAE=∠QEA=45°

∴AE⊥BC

∴點E是BC的中點.

∴BE=

綜上，在∠DEF運動過程中，△AEQ能成等腰三角形，此時BE的長為或.