Question

已知：如圖正方形ABCD，E是BC的中點，F在AB上，且BF=

1

4

AB，猜想EF與DE的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：由四邊形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，又由E是BC的中點，F在AB上，且BF=

1

4

AB，即可證得

BF

EC

=

BE

CD

=

1

2

，然后由兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，即可證得△BEF∽△CDE，繼而可求得∠DEF=90°，即可證得EF⊥DE．

解答：解：EF⊥DE．理由：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵E是BC的中點，BF=

1

4

AB，
∴BE=EC=

1

2

BC，
∴BF=

1

2

EC，BE=

1

2

CD，
∴

BF

EC

=

BE

CD

=

1

2

，
∴△BEF∽△CDE，
∴∠BEF=∠CDE，
∵∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BEF+∠CED=90°，
∴∠DEF=90°，即EF⊥DE．

點評：此題考查了正方形的性質以及相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．