Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，⊙O的圓心O在坐標原點，半徑OB在x軸正半軸上，點P是⊙O外一點，連接PO，與⊙O交于點A，PC、PD是⊙O的切線，切點分別為點C、點D，AO＝OB=2，∠POB＝120°，點M 坐標為(1，－）．

(1)求證：OP⊥CD；

(2)連結OM，求∠AOM的大小；

(3) 如果點E在x軸上，且△ABE與△AOM相似，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)150°;(3) E(4，0)或(8，0).

【解析】

（1）根據直線與圓相切的性質證明Rt△PDO ≌Rt△PCO，就可以證明OP⊥CD（2）連接OM，利用三角函數值解直角三角形即可（3）根據△ABE與△AOM相似，可以得到邊，角的關系，進而得到點的坐標.

（1）連接OD、OC

∵PC、PD是⊙O的切線

∴∠PDO＝∠PCO＝90° ，PC＝PD

∵在Rt△PDO 與Rt△PCO中

∴Rt△PDO ≌Rt△PCO（HL）

∴∠CPO＝∠DPO

∵PC＝PD，∠CPO＝∠DPO

∴OP⊥CD

（2）連接OM，作MH⊥x軸

∵在Rt△HMO中 ∴tan∠HOM＝＝ ∴ ∠HOM＝30°

∴ ∠AOM＝∠HOM＋∠POB＝30°＋120°＝150°

（3）由OA＝OB＝2，∠AOB=120°，得∠ABO=30°

若點E在點B左側時，不論∠AEB和∠EAB哪個

角等于150°，此時三角形內角和都大于180°

則點E只能在點B右側

∵∠ABO＝30°∴∠ABE＝∠AOM＝150°

若△ABE與△AOM相似存在兩種情況

①△AOM ∽△ABE ∴=

∴ BE＝2

∴E(4，0)

②△AOM ∽△EBA ∴=

∴ BE＝6

∴E(8，0)

綜上所述：E(4，0)或(8，0).