Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=45°，AD是⊙O的切線交BC的延長線于D，AB交OC于E．

（1）求證：AD∥OC；

（2）若AE=2，CE=2．求⊙O的半徑和線段BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連結OA，根據切線的性質得到OA⊥AD，再根據圓周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根據平行線的判定即可得到結論；

（2）設⊙O的半徑為R，則OA=R，OE=R-2，AE=2，在Rt△OAE中根據勾股定理可計算出R=4；作OH⊥AB于H，根據垂徑定理得AH=BH，再利用面積法計算出OH=，然后根據勾股定理計算出AH=，則HE=AE-AH=2-=，再利用BE=BH-HE進行計算．

試題解析：（1）連結OA，如圖，

∵AD是⊙O的切線，

∴OA⊥AD，

∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，

∴OA⊥OC，

∴AD∥OC；

（2）設⊙O的半徑為R，則OA=R，OE=R-2，AE=2，

在Rt△OAE中，∵AO2+OE2=AE2，

∴R2+（R-2）2=（2）2，解得R=4，

作OH⊥AB于H，如圖，OE=OC-CE=4-2=2，

則AH=BH，

∵OHAE=OEOA，

∴OH==，

在Rt△AOH中，AH=，

∴HE=AE-AH=2-=

∴BH=，

∴BE=BH-HE=-=．