Question

（2012•渝北區(qū)一模）如圖四邊形ABCD是菱形，且∠ABC=60，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM，則下列五個(gè)結(jié)論中正確的是（　　）
①若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則AM+CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S_{四邊形AMBE}=S_{四邊形ADCM}；④連接AN，則AN⊥BE；
⑤當(dāng)AM+BM+CM的最小值為2

3

時(shí)，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2．

A．①②③

B．②④⑤

C．①②⑤

D．②③⑤

Answer 1

分析：（1）連接AC，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得，當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最小；
（2）由題意得MB=NB，∠ABN=30°，所以∠EBN=30°，容易證出△AMB≌△ENB；
（3）連接AC，可以得到S_△ABE=S_△ADC，S_△AMB≠S_△AMC，從而可以得出結(jié)論．
（4）假設(shè)AN⊥BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)得出EN=BN，從而得出結(jié)論．
（5）根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)，（如圖）作輔助線，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，由題意求出∠EBF=60°，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理求得菱形的邊長(zhǎng)．

解答：解：①連接AC，交BD于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO
∴點(diǎn)A，點(diǎn)C關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，
∴M點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)AM+CM的值最小為AC的值
∵∠ABC=60，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∵AB=1，
∴AC=1，
即AM+CM的值最小為1，故本答案正確．
②∵△ABE是等邊三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵M(jìn)B=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS），故本答案正確．
③∵S_△ABE+S_△ABM=S_{四邊形AMBE}
S_△ACD+S_△AMC=S_{四邊形ADCM}，且S_△AMB≠S_△AMC，
∴S_△ABE+S_△ABM≠S_△ACD+S_△AMC，
∴S_{四邊形AMBE}≠S_{四邊形ADCM}，故本答案錯(cuò)誤．
④假設(shè)AN⊥BE，且AE=AB，
∴AN是BE的垂直平分線，
∴EN=BN=BM=MN，
∴M點(diǎn)與O點(diǎn)重合，
∵條件沒(méi)有確定M點(diǎn)與O點(diǎn)重合，故本答案錯(cuò)誤．
⑤如圖，連接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等邊三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)．
過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，
∴∠EBF=180°-120°=60°，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，
∴BF=

1

2

x，EF=

3

2

x，在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴(

3

2

x)2+(

1

2

x+x)2=(2

3

)2，解得x=2，故本答案正確．
綜上所述，正確的答案是：①②⑤，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題和旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題．