Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．
  
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若點D，點E分別是弧AB的三等分點，當AD=5時，求BF的長和扇形DOE的面積；
（3）在（2）的條件下，如果以點C為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點到點O的距離為5，則r的取值范圍為           ．

Answer 1

（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，即可得到CB＝AC＝CF，再根據以C為圓心AC長為半徑的⊙C過A、B、F可得∠ABF＝90°，從而可以證得結論；（2），；（3）＜r＜

解析試題分析：（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，即可得到CB＝AC＝CF，再根據以C為圓心AC長為半徑的⊙C過A、B、F可得∠ABF＝90°，從而可以證得結論；
（2）連接DO，EO，由點D，點E分別是弧AB的三等分點可得∠AOD＝60°，即可證得△AOD是等邊三角形  ，則∠OAD＝60°，AB=10，再根據正切函數的定義及三角形的面積公式求解即可；
（3）連接OC，由圓心距OC＝，圓O半徑r=5即可求得結果．
（1）∵∠CBF＝∠CFB
∴CB＝CF   
又∵AC＝CF 
∴CB＝AC＝CF
∴以C為圓心AC長為半徑的⊙C過A、B、F  
∴∠ABF＝90°
∴直線BF是⊙O的切線；
（2）連接DO，EO

∵點D，點E分別是弧AB的三等分點 
∴∠AOD＝60°
又∵OA＝OD 
∴△AOD是等邊三角形  
∴∠OAD＝60°，AB=10
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，AB=10
∴BF＝
；
（3）連接OC
∵圓心距OC＝，圓O半徑r=5
∴＜r＜．
考點：圓的綜合題
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.