Question

【題目】如圖所示，矩形中，厘米，厘米（）．動點同時從點出發，分別沿，運動，速度是厘米／秒．過作直線垂直于，分別交，于．當點到達終點時，點也隨之停止運動．設運動時間為秒．

（1）若厘米，秒，求PM的長度；

（2）若厘米，求出某個時間，使⊿PNB∽⊿PAD，并求出它們的相似比；

（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）（2），使，相似比為

（3），

【解析】

（1）容易知道△ANB∽△APM，利用相似三角形的對應邊成比例就可以求出PM；
（2）若PNB∽△PAD，則，而，∴，則可求出t，也可以求出相似比；
（3）首先用△AMP∽△ABN把QM，PM用t表示，再用t表示梯形PMBN與梯形PQDA的面積，根據已知可以得到關于t的方程，再由t與a的關系式可以求t的取值范圍了；
（4）由（3）根據梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等得到關于t的方程，求出t，再求出a，則問題可解．

解：（1）當t=1時，MB=1，NB=1，AM=4-1=3，
∵PM∥BN
∴△ANB∽△APM，
∴，

∴PM＝

（2）當t=2時，使△PNB∽△PAD，
∴，

∵，
∴

∴

解得t=2，則相似比為2：3．

（3），

⊿APM∽⊿ABN ，

，

即：

∴

當梯形與梯形的面積相等，即

化簡得，

，

，

則，