Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點P從點B出發，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為4cm/s，過點P作PQ⊥BD交BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上，點O從點D出發，沿DC向點C勻速運動，速度為3m/s，以O為圓心，0.8cm為半徑作⊙O，點P與點O同時出發，設它們的運動時間為t（單位：s）（0＜t＜ ）．

（1）如圖1，連接DQ平分∠BDC時，t的值為；
（2）如圖2，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值；
（3）請你繼續進行探究，并解答下列問題：
①證明：在運動過程中，點O始終在QM所在直線的左側；
②如圖3，在運動過程中，當QM與⊙O相切時，求t的值；并判斷此時PM與⊙O是否也相切？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

解：解：如圖2中，作MT⊥BC于T．

∵MC=MQ，MT⊥CQ，

∴TC=TQ，

由（1）可知TQ= （8﹣5t），QM=3t，

∵MQ∥BD，

∴∠MQT=∠DBC，

∵∠MTQ=∠BCD=90°，

∴△QTM∽△BCD，

∴ ，

∴ ，

∴t= （s），

∴t= s時，△CMQ是以CQ為底的等腰三角形

（3）

解：①證明：如圖2中，由此QM交CD于E，

∵EQ∥BD，

∴ = ，

∴EC= （8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣ （8﹣5t）= t，

∵DO=3t，

∴DE﹣DO= t﹣3t= t＞0，

∴點O在直線QM左側．

②解：如圖3中，由①可知⊙O只有在左側與直線QM相切于點H，QM與CD交于點E．

∵EC= （8﹣5t），DO=3t，

∴OE=6﹣3t﹣ （8﹣5t）= t，

∵OH⊥MQ，

∴∠OHE=90°，

∵∠HEO=∠CEQ，

∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，

∵∠OHE=∠C=90°，

∴△OHE∽△BCD，

∴ ，

∴ ，

∴t= ．

∴t= s時，⊙O與直線QM相切．

連接PM，假設PM與⊙O相切，則∠OMH= PMQ=22.5°，

在MH上取一點F，使得MF=FO，則∠FMO=∠FOM=22.5°，

∴∠OFH=∠FOH=45°，

∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8 ，

∴MH=0.8（ +1），

由 得到HE= ，

由 得到EQ= ，

∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣ ﹣ = ，

∴0.8（ +1）≠ ，矛盾，

∴假設不成立．

∴直線MQ與⊙O不相切．

【解析】（1）解：如圖1中
，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，
∴BD= = =10，
∵PQ⊥BD，
∴∠BPQ=90°=∠C，
∵∠PBQ=∠DBC，
∴△PBQ∽△CBD，
∴ ，
∴ ，
∴PQ=3t，BQ=5t，
∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，
∴QP=QC，
∴3t=6﹣5t，
∴t= ，
所以答案是 ．