Question

【題目】如圖①，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB．

（1）求證：△BCP≌△DCP；

（2）求證：∠DPE=∠ABC；

（3）把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變（如圖②），若∠ABC=58°，則∠DPE=　 　度．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，

∵在△BCP和△DCP中，，

∴△BCP≌△DCP（SAS）。

（2）證明：由（1）知，△BCP≌△DCP，

∴∠CBP=∠CDP。

∵PE=PB，∴∠CBP=∠E。∴∠DPE=∠DCE。

∵∠1=∠2（對頂角相等），

∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，

即∠DPE=∠DCE。

∵AB∥CD，

∴∠DCE=∠ABC。

∴∠DPE=∠ABC。

（3）58

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的四條邊都相等可得BC=DC，對角線平分一組對角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“邊角邊”證明即可。

（2）根據全等三角形對應角相等可得∠CBP=∠CDP，根據等邊對等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根據兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，從而得證。

（3）根據（2）的結論解答：

與（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，

∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°。