Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，經過的點A（﹣4，0）、點B（6，0）的 拋物線與y軸相交于點C（0，m），連接BC．

（1）若△OAC∽△OCB，請求出m的值；
（2）當m=3時，試求出拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若P為拋物線上位于x軸上方的一動點，以P、A、B、C為頂點的四邊形面積記作S，當S取何值時，相應的點P有且只有3個？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣4，0）、B（6，0）、C（0，m），

∴OA=4，OB=6，OC=m，

∵△OAC∽△OCB，

∴ = ，

∴OC2=OAOB，即m2=24，

∴m=2

（2）

解：當m=3時，C（0，3），

∴設拋物線解析式為y=ax2+bx+3（a≠0）．

把A（﹣4，0）、B（6，0）代入，得

，

解得 ，

故該拋物線解析式為：y=﹣ x2+ x+3

（3）

解：設P（x，﹣ x2+ x+3）．

①若點P在OC的左側，連接OP．

S=S△AOP+S△POC+S△OBC

= ×4×（﹣ x2+ x+3）﹣ ×3x+ ×6×3

=﹣ （x+2）2+16；

②若點P在OC的右側，連接OP．

S=S△ACO+S△POC+S△POB

= ×4×3+ ×3x+ ×6×（﹣ x2+ x+3）

=﹣ （x﹣3）2+ ，

＞16，

∴當點P在OC的左側時，四邊形PCAB的面積最大值是16，此時點P的位置只有一個．

16=﹣ （x﹣3）2+ ，

解得x=3± ，

∴當點P在OC的右側時，四邊形PCAB的面積等于16，的對應點P的位置有2個．

綜上所述，以P、A、B、C為頂點的四邊形面積S等于16時，相應的點P有且只有3個．

【解析】（1）利用相似三角形的對應邊成比例求得m的值即可；（2）利用待定系數法求得拋物線解析式；（3）需要分類討論：點P在OC的左側、右側兩種情況．利用分割法求得S的值，進行比較即可得到答案．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．