Question

【題目】設是任意兩個不等實數，我們規定：滿足不等式的實數的所有取值的全體叫做閉區間，表示為．對于一個函數，如果它的自變量與函數值滿足：當時，有，我們就稱此函數是閉區間上的“閉函數”．如函數，當時，；當時，，即當時，有，所以說函數是閉區間上的“閉函數”

（1）反比例函數是閉區間上的“閉函數”嗎?請判斷并說明理由；

（2）若二次函數是閉區間上的“閉函數”，求的值；

（3）若一次函數是閉區間上的“閉函數”，求此函數的表達式(可用含的代數式表示)．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數是閉區間[1,2019]上的“閉函數”，理由見解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）由k＞0可知反比例函數在閉區間[1，2019]上y隨x的增大而減小，然后將x＝1，x＝2019分別代入反比例解析式的解析式，從而可求得y的范圍，于是可做出判斷；

（2）先求得二次函數的對稱軸為x＝3，a＝1＞0，根據二次函數的性質可知在閉區間上y隨x的增大而增大，然后將x＝3，y＝3，x＝4，y＝4分別代入二次函數的解析式，從而可求得k的值；

（3）當k＞0時，將（m，m）、（n，n）代入直線的解析式得到關于k、b的方程組，從而可求得k＝1、b＝0，故此函數的表達式為y＝x；當k＜0時，將（m，n）、（n，m）代入直線的解析式得到關于k、b的方程組，從而可求得k＝1、b＝m＋n的值，從而可求得函數的表達式．

(1)反比例函數是閉區間[1,2019]上的“閉函數”

理由如下

反比例函數在第一象限，隨的增大而減小，

當時，

當時，,

即圖象過點(1,2019)和(2019,1)

當時，有，符合閉函數的定義，

反比例函數是閉區間[1，2019]上的“閉函數”

(2)由于二次函數的圖象開口向上,對稱軸為,

二次函數在閉區間[3,4]內，隨的增大而增大

當時，,

當時，,

即圖象過點(3,3)和(4,4)

當時，有，符合閉函數的定義，

(3)因為一次函數是閉區間上的“閉函數”，

根據一次函數的圖象與性質，有

①當時，即圖象過點和

，解得.

②當時，即圖象過點和,

解得

∴直線解析式為

綜上所述，當k＞0時，直線的解析式為y＝x，當k＜0，直線的解析式為y＝x＋m＋n．