Question

【題目】如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內角∠ABC、外角∠AFC，以下結論：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°—∠ABD；④∠BDC=∠BAC，其中正確的結論有_____________。

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根據角平分線定義得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根據三角形的內角和定理得出∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，根據三角形外角性質得出∠ACF＝∠ABC＋∠BAC，∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，根據已知結論逐步推理，即可判斷各項．

解：∵AD平分∠EAC，

∴∠EAC＝2∠EAD，

∵∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ABC＝∠ACB，

∴∠EAD＝∠ABC，

∴AD∥BC，∴①正確；

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，

∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正確；

∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，

∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ACF，

∵∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ACF＝∠ABC＋∠BAC，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，

∴∠ADC＝180°（∠DAC＋∠ACD）

＝180°（∠EAC＋∠ACF）

＝180°（∠ABC＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC）

＝180°（180°+∠ABC）

＝90°∠ABC

＝90°—∠ABD，∴③正確；

∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC＋∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC＋∠BDC，

∴∠BAC＝2∠BDC，∴④正確，

故答案為：①②③④.