Question

【題目】已知：如圖，以等邊△ABC的邊BC為直徑作⊙O，分別交AB，AC于點D，E，過點D作DF⊥AC交AC于點F．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若等邊△ABC的邊長為8，求由、DF、EF圍成的陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】（1）連接CD、OD，先利用等腰三角形的性質證AD=BD，再證OD為△ABC的中位線得DO∥AC，根據DF⊥AC可得；

（2）連接OE、作OG⊥AC，求出EF、DF的長及∠DOE的度數，根據陰影部分面積=S梯形EFDO-S扇形DOE計算可得．

（1）如圖，連接CD、OD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，

又∵△ABC是等邊三角形，

∴AD=BD，

∵BO=CO，

∴DO是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切線；

（2）連接OE、作OG⊥AC于點G，

∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，

∴四邊形OGFD是矩形，

∴FG=OD=4，

∵OC=OE=OD=OB，且∠COE=∠B=60°，

∴△OBD和△OCE均為等邊三角形，

∴∠BOD=∠COE=60°，CE=OC=4，

∴EG=CE=2、DF=OG=OCsin60°=2，∠DOE=60°，

∴EF=FG-EG=2，

則陰影部分面積為S梯形EFDO-S扇形DOE

=×（2+4）×2-

=.