Question

【題目】如圖 1，長方形 ABCD 中，AB＝3cm，BC＝6cm，P 為矩形 ABCD 上的動點，動點 P 從 A 出發，沿著 A-B-C-D 運動到 D 點停止，速度為 1cm/s，設點 P 運動時間為 x 秒，△APD 的面積為 ycm.

（1）填空:①當 x＝6 時，對應 y 的值為________；9≤x＜12 時，y 與 x 之間的關系式為_____；

（2）當 y＝3 時，求 x 的值；

（3）當 P 在線段 BC 上運動時，是否存在點 P 使得△APD 的周長最小？若存在，求出此時∠APD 的度數；若不存在，請說明理由.

圖1

Answer 1

【答案】 9 y＝-3x＋36

【解析】（1）利用三角形面積求法S△APD＝即可得出答案；當9＜x≤12時，點P運動到CD邊上，S△APD＝得出y與x的函數關系式即可；

（2）分別求出點P在AB、BC、CD上y與x的函數關系式，利用y＝3，求出x的值即可；

（3）利用軸對稱求最短路線的方法得出P點位置，進而利用全等三角形的性質求出答案．

（1）9；y＝-3x＋36；

（2）當 P 從 A-B 運動時，y＝3x；當 P 從 B-C 運動時，y＝9；當 P 從 C-D 運動時，y＝-3x＋36；令 y＝3，則 3x＝3 或-3x＋36＝3，解得 x＝1 或 11.

（3）存在.理由：如圖，延長 DC，使得 DC＝D’C，連接 AD’，交 BC 于點 P，則 P 為所求，

且△PCD≌△PCD’，

∴PD＝PD’，∠PCD＝∠PCD’ 因為四邊形 ABCD 是長方形

∴AB＝CD,∠B＝∠PCD＝90°

∴AB＝CD’，∠PCD’＝90°

在△ABP 與△D’CP 中，

∴△ABP≌△D’CP（AAS）

∴BP PCBC3，

∵AB＝DC＝3，

∴AB＝BP，PC＝CD，

∴∠APB＝∠BAP＝45°，∠DPC＝∠DPC＝45°，

∵∠APB＋∠APD＋∠CPD＝180°，

∴∠APD＝90°.