Question

【題目】如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點C，AB交⊙O于點D，E為AC的中點，連接CD，DE.

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若BD＝4，CD＝3，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】(1)、連接OD，根據題意得出∠BDC和∠ADC為直角，根據直角三角形的性質得出∠EDC=∠ECD，根據等腰三角形的性質∠ODC=∠OCD，根據AC為切線得出答案；(2)、根據勾股定理得出BC的長度，根據△BCD和△ABC相似得出AC的長度．

(1)連接OD.∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°.

∵E為AC的中點，∴DE＝EC＝AC，∴∠EDC＝∠ECD.

∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∵AC切⊙O于點C，∴AC⊥OC.

∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝90°，∴DE⊥OD.∴DE是⊙O的切線；

(2)在Rt△BCD中，∵BD＝4，CD＝3，∴BC＝＝5.

∵∠BDC＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B.∴△BCD∽△BAC，∴＝，

即＝，∴AC＝.