Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝kx+b（k≠0）與直線y＝kx（k≠0）平行，與直線y＝3相交于點A(3，3)．

（1）求k和b的關系式；

（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點，記直線l：y＝kx+b、y＝kx、y＝3與x軸構成的封閉區域（不含邊界）為W．

①當k＝2時，結合函數圖象，求區域W內的整點個數；

②若區域W內恰有2個整點，直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b＝3﹣3k；（2）①W區域內有2個整數點(1，1)，(2，2)，②1＜k≤2

【解析】

（1）根據題意列方程即可得到結論；

（2）①當k＝2時，得到b＝3﹣3k＝﹣3，求得直線l：y＝2x﹣3（k≠0）與直線y＝2x與x軸的交點為（，0），（0，0），與直線y＝3的交點為（3，3），（，3）于是得到結論；

②當直線y＝kx（k≠0）經過（2，2）時，此時求得直線的解析式為y＝x，得到直線l的解析式也為y＝x，此時區域W內沒有整點，由①知，當區域W內恰有2個整點時，k＝2，于是得到結論．

解：（1）直線l：y＝kx+b（k≠0）與直線y＝3相交于點A（3，3），

∴3k+b＝3，

∴b＝3﹣3k；

（2）①當k＝2時，則b＝3﹣3k＝﹣3，

∴直線l：y＝2x﹣3（k≠0）與直線y＝2x平行，分別與x軸的交點為（，0），（0，0），

分別與直線y＝3的交點為（3，3），（，3），

在W區域內有2個整數點：（1，1），（2，2）；

②當直線y＝kx（k≠0）經過（2，2）時，此時，直線的解析式為y＝x，

∵直線l：y＝kx+b（k≠0）與直線y＝kx（k≠0）平行且經過點A（3，3）．

∴直線l的解析式也為y＝x，

此時區域W內沒有整點，

由①知，當區域W內恰有2個整點時，k＝2，

綜上所述，若區域W內恰有2個整點，k的取值范圍為：1＜k≤2．