Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點M，若H是AC的中點，連接MH．

（1）求證：MH為⊙O的切線．

（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半徑．

（3）在（2）的條件下分別過點A、B作⊙O的切線，兩切線交于點D，AD與⊙O相切于N點，過N點作NQ⊥BC，垂足為E，且交⊙O于Q點，求線段NQ的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2；（3）．

【解析】

（1）連接OH、OM，易證OH是△ABC的中位線，利用中位線的性質可證明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，從而可知MH是⊙O的切線；

（2）由切線長定理可知：MH=HC，再由點M是AC的中點可知AC=3，由tan∠ABC=，所以BC=4，從而可知⊙O的半徑為2；

（3）連接CN，AO，CN與AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切線可知AO⊥CN，利用等面積可求出可求得CI的長度，設CE為x，然后利用勾股定理可求得CE的長度，利用垂徑定理即可求得NQ．

解：（1）連接OH、OM，∵H是AC的中點，O是BC的中點

∴OH是△ABC的中位線

∴OH∥AB，∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB

又∵OB=OM，∴∠OMB=∠MBO

∴∠COH=∠MOH，

在△COH與△MOH中，

∵OC=OM，∠COH=∠MOH，OH=OH

∴△COH≌△MOH（SAS）

∴∠HCO=∠HMO=90°

∴MH是⊙O的切線；

（2）∵MH、AC是⊙O的切線

∴HC=MH=

∴AC=2HC=3

∵tan∠ABC=，∴=

∴BC=4

∴⊙O的半徑為2；

（3）連接OA、CN、ON，OA與CN相交于點I

∵AC與AN都是⊙O的切線

∴AC=AN，AO平分∠CAD

∴AO⊥CN

∵AC=3，OC=2

∴由勾股定理可求得：AO=

∵ACOC=AOCI，∴CI=

∴由垂徑定理可求得：CN=

設OE=x，由勾股定理可得：

∴，

∴x=，∴CE=，

由勾股定理可求得：EN=，

∴由垂徑定理可知：NQ=2EN=．