Question

【題目】已知拋物線y＝ax2－x＋c的對稱軸為直線x＝－1，與x軸交于點A（－4，0）和點B，與y軸交于點C，點D（m，n）為坐標軸中一點，點O為坐標原點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若m＝0，∠DAB＝∠BCO，射線AD與拋物線交于點H，請畫出圖形，求出點H的坐標；

（3）若n＝5，m≠－1，直線DE和DF（不與x軸垂直）都與拋物線只有一個公共點，DE和DF分別與對稱軸交于點M，N，點P為對稱軸上（M，N下方）一點，當PD2＝PMPN時，請畫出圖形，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為或；（3）點的坐標為．

【解析】

（1）由拋物線的對稱軸為直線，得出，再將代入解得，即可得到解析式；

（2）當時，求出拋物線與x軸交點，，當時，得到C（0，4），可得AO=CO=4，OB=2，因為，所以點在軸上，分成兩種情況討論，①當在軸正半軸上時，通過證明，得到OB=OD，即點D為（0，2），求出直線AD的解析式，聯立直線AD的解析式和拋物線的解析式，得到點H的坐標；②當點在軸負半軸上時，通過證明，得到OB=OD，即點D為（0，-2），求出直線AD的解析式，聯立直線AD的解析式和拋物線的解析式，得到點H的坐標即可；

（3）設經過點的直線解析式為，將代入，得到，所以經過點的直線解析式可以表示為，聯立過點D的解析式和拋物線的解析式得到，因為經過點的直線和都與拋物線只有一個交點，得到，設直線的解析式為，直線DF的解析式為，可得，，在中，當時，，得到；在中，當時，，得到，設，則，，，因為，列出方程，解得t=4，即可得到點的坐標；

解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線，

，

，

，將代入解得，

拋物線的解析式為：；

（2）當時，解得，，

，，

當時，，

，，

∵，

點在軸上，

①當點在軸正半軸上時，如圖所示，

∵，，，

，

，

，

設的解析式為，將，代入解得，

聯立，

，，

，

②當點在軸負半軸上時，如圖所示，

∵，，，

，

，

設的解析式為，將，代入解得，

聯立，

，，

，

綜上所述：點的坐標為或，

（3）設經過點的直線解析式為，將代入，

，

，

經過點的直線解析式可以表示為，

聯立，

，

∵經過點的直線和都與拋物線只有一個交點，

，

，

設直線的解析式為，

直線DF的解析式為，

則，，

在中，當時，，

，

在中，當時，，

，

設，則，，，

∵，

，

∵，

，

，

∴點的坐標為；