Question

【題目】小明到某超市購買A、B、C三種商品．其中A、B兩種商品的單價之和正好等于C商品的單價，小明前兩次購買商品的數量和總費用如下表：

	商品A的數量	商品B的數量	商品C的數量	總費用（元）
第一次	2	3	2	230
第二次	1	4	3	290

（1）求A、B、C三種商品的單價；

（2）若小明第三次需要購置A、B、C三種商品共m個，其中C商品的數量是A商品的數量的2倍，恰好花了480元錢．

①求m的最大值；

②若小明在第三次購買A，B，C三種商品時正好遇上“買一送一”活動，即購買一個C商品即可贈送一個A商品或一個B商品（優先贈送A商品），求m的值．

Answer 1

【答案】（1）A、B、C三種商品的單價分別為20元，30元，50元；（2）①m的最大值為15；②m =18

【解析】

（1）設A、B、C三種商品的單價分別為x元，y元，(x+y)元，根據兩次購買商品的費用建立方程組求解；

（2）①設第三次購置A商品a個，B商品b個，C商品2a個，則m=3a+b．根據總費用480元建立方程，可求m的最值；

②分兩種情況討論：當a≥b時，則購買C商品2a個即可，當a<b時，A不用購買，有贈送，B只要購買(b－a)個，列方程求解．

（1）設A、B、C三種商品的單價分別為x元，y元，(x+y)元，

則由題意得：，

得：，則有x+y=20+30=50，

答：A、B、C三種商品的單價分別為20元，30元，50元．

（2）設第三次購置A商品a個，B商品b個，C商品2a個，

則m=3a+b．

①20a+30b+50×2a=480，得：4a+b=16，

由a，b均為正整數，可以求得或或，

∴m的最大值為15．

②當a≥b時，則購買C商品2a個即可，50×2a=480（不合題意）

當a<b時，A不用購買，有贈送，B只要購買(b－a)個

∴30(b－a)+50×2a=480，

由a，b均為正整數，可以求得，則m=3a+b=18．