Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點，EF過點O且EF⊥AC分別交DC于點F，交AB于點E，點G是AE中點且∠AOG=30°，給出以下結論：

①∠AFC=120°；

②△AEF是等邊三角形；

③AC=3OG；

④S△AOG=S△ABC

其中正確的是______．（把所有正確結論的序號都選上）

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】試題分析：根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OG=AG=GE=AE，再根據等邊對等角可得∠OAG=30°，∠EOG=60°，從而根據矩形的性質得到∠ACF=30°，因此由線段垂直平分線的性質可得FC=AF，因此可根據等邊對等角得到∠FAE=30°，根據三角形的內角和求得∠AFC=120°，故①正確；

由∠AFC=120°，∠FCA=30°，可知∠AFE=60°，因此△AEF是等邊三角形，故②正確；

連接CE，則根據三角形的中位線可知CE=2OG，由矩形的性質可得四邊形AECF是菱形，且，由OE=OG，OA=AC，可知，解得AC=OG，故③不正確；

令AE=2a，則OG=OE=a，AO=a，AC=2a，由S△AOE=×a×a=2，S矩形ABCD=3a×a=3a2 ，即S△AOG＝S△ABC，故④正確.

故答案為：①②④.