Question

【題目】如圖，已知A(1，5)，直線l1：y=x，直線l2過原點且與x軸正半軸成60°夾角，在l1上有一動點M，在l2上有一動點N，連接AM、MN，則AM+MN的最小值為_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據“AAS”可證△AOC≌BOD，利用全等三角形對應邊相等可得OD=OC=5，BD=AC=1，作NE⊥x軸，BF⊥NE，可得∠BNF=60°，設BN=2x，則NF=x，BF=， 可得OE=OD-DE=5-， NE =NF+EF=x+1，利用tan∠NOE==，解出x的值即可.

解：如圖，做點A關于l1的對稱點B，過BN⊥l2，交l1于一點即為M，此時，線段BN的長即為AM+MN的最小值，

∴AO=BO，

作AC⊥y軸，BD⊥x軸，

易證△AOC≌BOD(AAS)，

∵A(1,5)

∴B(5,1)

∴OD=5，BD=1,

作NE⊥x軸，BF⊥NE，

∵直線L2與x軸夾角為60°，

∴∠BNF=60°，

設BN=2x，則NF=x，BF=

∴OE=OD-DE=5-， NE =NF+EF=x+1,

tan∠NOE===tan60°=,

解得x=,

∴BN=2x=.

即得AM+MN的最小值為.

故答案為：.