Question

【題目】（1）如圖（1），已知：在等腰直角三角形中，，直線經過點，直線，直線，垂足分別為點、.則、和之間的數量關系是： .

（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在等腰三角形中，、、三點都在直線上，且，其中為任意銳角或鈍角.請問結論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）拓展與應用：如圖（3），、是直線上的兩動點（、、三點互不重合），點為平分線上的一點，且和均為等邊三角形，連接、，若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）DE=BD+CE；（2）成立；（3）理由見解析．

【解析】

（1）根據同角的余角相等得出∠CAE=∠ABD，進而利用AAS得出△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；

（2）根據∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，得出∠CAE=∠ABD．在△ADB和△CEA中，根據AAS證出△ADB≌△CEA，從而得出AE=BD，AD=CE，即可證出DE=BD+CE；

（3）連接BC．由（2）的結論得到△ADB≌△CEA，則BD=AE，∠DBA=∠CAE，根據等邊三角形的性質得∠ABF=∠CAF=60°，則有∠DBF=∠FAE，利用“SAS”可證明△DBF≌△EAF，即可得出結論．

（1）DE=BD+CE．理由如下：

如圖1．

∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°．

又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．

在△ABD和△CAE中，∵，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE．

∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；

（2）成立．理由如下：

如圖2．

∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，∴∠CAE=∠ABD．

在△ADB和△CEA中，∵，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；

（3）DF=EF．理由如下：

連接BC．

∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴BF=BA=AF=AC，∠ABF=∠CAF=60°．

由（2）知，△ADB≌△CAE，BD=EA，∠DBA=∠CAE．

∵∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE．

在△DBF和△EAF中，∵，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF．