Question

【題目】某文具店經銷甲、乙兩種不同的筆記本.已知：兩種筆記本的進價之和為10元，甲種筆記本每本獲利2元，乙種筆記本每本獲利1元，馬陽光同學買4本甲種筆記本和3本乙種筆記本共用了47元.

（1）甲、乙兩種筆記本的進價分別是多少元？

（2）該文具店購入這兩種筆記本共60本，花費不超過296元，則購買甲種筆記本多少本時該文具店獲利最大？

（3）店主經統計發現平均每天可售出甲種筆記本350本和乙種筆記本150本.如果甲種筆記本的售價每提高1元，則每天將少售出50本甲種筆記本；如果乙種筆記本的售價每提高1元，則每天少售出40本乙種筆記本，為使每天獲取的利潤更多，店主決定把兩種筆記本的價格都提高元，在不考慮其他因素的條件下，當定為多少元時，才能使該文具店每天銷售甲、乙兩種筆記本獲取的利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）甲種筆記本的進價為6元/本，乙種筆記本的進價為4元/本．

（2）28

（3）當x定為2元時，才能使該文具店每天銷售甲、乙筆記本獲取的利潤最大，最大利潤為1260元．

【解析】

（1）設甲種筆記本的進價為m元/本，則乙種筆記本的進價為（10-m）元/本，根據總價=單價×數量，即可得出關于m的一元一次方程，求解即可,
（2）設購入甲種筆記本n本，則購入乙種筆記本（60-n）本，根據花費不超過296元，即可得出關于n的一元一次不等式組，解之即可得出n的取值范圍，再結合n為正整數，即可解題,
（3）設把兩種筆記本的價格都提高x元的總利潤為w元，根據總利潤=單本利潤×銷售數量，即可得出w關于x的函數關系式，利用配方法結合二次函數的性質即可解決最值問題．

解：（1）設甲種筆記本的進價為m元/本，則乙種筆記本的進價為（10-m）元/本，
根據題意得：4（m+2）+3（10-m+1）=47，
解得：m=6，
∴10-m=4．
答：甲種筆記本的進價為6元/本，乙種筆記本的進價為4元/本．

（2）設購入甲種筆記本n本，則購入乙種筆記本（60-n）本，
根據題意得：6n+4(60-n)296,

解得： n≤28,

則利潤=2n+(60-n)=n+60,

∵一次項系數大于0,

∴利潤隨n的增大而增大,
∵n為正整數，
∴n=28時, 該文具店獲利最大為88,
（3）設把兩種筆記本的價格都提高x元的總利潤為w元，
根據題意得：w=（2+x）（350-50x）+（1+x）（150-40x）=-90（x-2）2+1260，
∵在w=-90（x-2）2+1260中，a=-90＜0，
∴當x=2時，w取最大值，最大值為1260,
答：當x定為2元時，才能使該文具店每天銷售甲、乙筆記本獲取的利潤最大，最大利潤為,1260元．