Question

【題目】如圖，兩個全等的Rt△AOB、Rt△OCD分別位于第二、第一象限，∠ABO＝∠ODC＝90°，OB、OD在x軸上，且∠AOB＝30°，AB＝1．

（1）如圖1中Rt△OCD可以看作由Rt△AOB先繞點O順時針旋轉　 　度，再繞斜邊中點旋轉　 　度得到的，C點的坐標是　 　；

（2）是否存在點E，使得以C、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，寫出E點的坐標；若不存在請說明理由．

（3）如圖2將△AOC沿AC翻折，O點的對應點落在P點處，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）90，180，（1，）；（2）存在，E的坐標為（0，）或（2，），或（0，﹣）；（3）P（1﹣，1+）．

【解析】

(1)先求出OB,再由旋轉求出OD,CD,即可得出結論;

(2)先求出D的坐標,再分三種情況,利用平行四邊形的性質即可得出結論;

(3)先判斷出四邊形OAPC是正方形,再利用中點坐標公式即可得出結論

解：（1）Rt△OCD可以看作由Rt△AOB先繞點O順時針旋轉90°，再繞斜邊中點旋轉180°得到的，

在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，AB＝1，

∴OB＝ ，

由旋轉知，OD＝AB＝1，CD＝OB＝，

∴C（1，），

故答案為90，180，（1，）；

（2）存在，理由：如圖1，

由（1）知，C（1，），

∴D（1，0），

∵O（0，0），

∵以C、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴①當OC為對角線時，

∴CE∥OD，CE＝OD＝1，點E和點B'重合，

∴E（0，），

②當CD為對角線時，CE∥OD，CE＝OD＝1，

∴E（2，），

當OD為對角線時，OE'∥CD，OE'＝CD，

∴E（0，﹣），

即：滿足條件的E的坐標為（0，）或（2，），或（0，﹣）；

（3）由旋轉知，OA＝OC，∠OCD＝∠AOB＝30°，

∴∠COD＝90°﹣∠OCD＝60°，

∴∠AOC＝90°，

由折疊知，AP＝OA，PC＝OC，

∴四邊形OAPC是正方形，

設P（m，n）

∵A（﹣，1），C（1，），O（0，0），

∴ （m+0）＝（1﹣），（n+0）＝（1+），

∴m＝1﹣，n＝1+，

∴P（1﹣，1+）．