Question

【題目】我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．

（1）請你寫出一個等對邊四邊形的名稱；

（2）如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，設CD、BE相交于點O，若∠A=50°，．請寫出圖中其余等于50°的角，并猜想圖中哪個四邊形為等對邊四邊形(不需證明）；

（3）在中，如果∠A是不等于50°的銳角，點D、E分別在AB、AC上，且．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形；（2）∠BOD＝50°，∠COE＝50°，猜想：四邊形DBCE是等對邊四邊形；（3）存在等對邊四邊形DBCE，證明見解析．

【解析】

（1）根據等對邊四邊形的定義即可得出答案；

（2）根據三角形外角的性質可得∠BOD＝50°，根據對頂角的性質可得∠COE＝50°；猜想四邊形DBCE是等對邊四邊形；

（3）作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點．易證△BCF≌△CBG，進而證明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四邊形DBCE是等對邊四邊形．

解：（1）平行四邊形，

∵平行四邊形有兩組對邊相等，

∴平行四邊形是等對邊四邊形；

（2）∠BOD＝50°，∠COE＝50°，

∵∠A=50°，

∵∠BOD＝∠OBC＋∠OCB＝25°＋25°＝50°，

∴∠COE＝50°，

猜想：四邊形DBCE是等對邊四邊形（證明過程見第三問）；

（3）存在等對邊四邊形DBCE．

證明：如圖，作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點．

∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC為公共邊，

∴△BCF≌△CBG，

∴BF＝CG，

∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，

∴∠BDF＝∠BEC，

∴△BDF≌△CEG，

∴BD＝CE，

∴四邊形DBCE是等對邊四邊形．