Question

【題目】如圖，已知□ABCD中，DE是∠ADC的角平分線，交BC于點E．

（1）求證：CD=CE；

（2）若BE=CE，求證：AE⊥DE.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）根據DE是∠ADC的角平分線，得到∠ADE=∠CDE，再根據平行四邊形的性質得到∠ADE=∠DEC.所以∠CDE=∠DEC，根據等角對等邊即可得證；
（2）先根據BE=CE結合CD=CE得到AB=BE, ∠BAE=∠BEA.

推出∠DAE=∠BAE=∠BAD.再根據平行四邊形鄰角互補得到∠BAD+∠ADC=180°，

∠DAE+∠ADE= (∠BAD+∠ADC)=90°，從而證明AE⊥DE.

試題解析：（1）∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ AD∥BC，

∴ ∠ADE=∠DEC.

∵ DE是∠ADC的角平分線，

∴ ∠ADE=∠CDE，

∴ ∠CDE=∠DEC，

∴ CD=CE.

（2）∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ AB=DC.

∵ CD=CE，BE=CE

∴ AB=BE,

∴ ∠BAE=∠BEA.

∵ AD∥BC，

∴ ∠DAE=∠BEA.

∴ ∠DAE=∠BAE=∠BAD.

∵ AB∥DC，

∴ ∠BAD+∠ADC=180°，

∵ ∠ADE=∠ADC，

∴ ∠DAE+∠ADE= (∠BAD+∠ADC)=90°，

∴ ∠AED=90°,

∴ AE⊥DE.