Question

【題目】當a、b都是實數，且滿足2a﹣b＝6，就稱點P為完美點．

（1）判斷點A（2，3）是否為完美點？

（2）完美點一定不在第　 　象限；

（3）已知關于m、n的方程組，當t為何值時，以方程組的解為坐標的點B是完美點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A（2，3）不是完美點；（2）二；（3）當t＝時，以方程組的解為坐標的點B是完美點．．

【解析】

（1）把（2，3）代入求出a和b的值，檢驗是否滿足2a﹣6＝b即可判斷；

（2）根據2a﹣b＝6得到b＝2a﹣6，代入完美點坐標得到（a﹣1，a﹣2），對其橫縱坐標的正負進行討論即可；

（3）解方程組，用t表示m和n的值，再代入完美點用t表示出a和b的值，最后依據2a﹣b＝6，構造關于t的方程，解出t的值．

解：（1）解a﹣1＝2，+1＝3，得到a＝3，b＝4．

則2a﹣b＝2≠6，所以點A（2，3）不是完美點；

（2）由2a﹣b＝6，可得b＝2a﹣6，代入P中得完美點坐標為（a﹣1，a﹣2）．

若a﹣1是正數，則a﹣2可能是正數也可能是負數，即在第一或四象限；

若a﹣1是負數，則a＜1，所以a﹣2必然是負數，在第三象限，

故完美點一定不在第二象限；

（3）解方程組，得到，

∴點B坐標為（2+t，2﹣t）．

∵點B是完美點，

則a﹣1＝2+t，+1＝2﹣t，

解得a＝3+t，b＝2﹣2t．

代入2a﹣b＝6中，得2（3+t）﹣（2﹣2t）＝6，解得t＝．

所以當t＝時，以方程組的解為坐標的點B是完美點．